පයිතගරස් ප්‍රමේයය

ගණිතයේ දී පයිතගරස් ප්‍රමේයය යනු යුක්ලීඩ් ජ්‍යාමිතියේ සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාද තුන අතර සම්බන්ධයකි. සාම්ප්‍රදායිකව මෙම ප්‍රමේයය සොයා ගෙන සාධනය කළා යැයි සැලකෙන ග්‍රීක ජාතික ගණිතඥයකු වන පයිතගරස් හට ගෞරවයක් ලෙස පයිතගරස් ප්‍රමේය ලෙස නම් කළ ද ඔහුට ප්‍රථමයෙන් මෙම ප්‍ර‍මේයය භාවිතයේ තිබී ඇත.

ප්‍රමේයයෙහි ප්‍රතිවිපාක සහ ප්‍රයෝජන

පයිතගර ත්‍රිත්ව

පයිතගර ත්‍රිත්වය $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ලෙස වන a, b, සහ c යන ධන නිඛිල තුනකින් සමන්විත වේ. වෙනත් ආකාරයකින් සඳහන් කරන්නේ නම් පයිතගරස් ත්‍රිත්වය මගින් සියලු පාදවල දිග ධන නිඛිලවන සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාදයන්හි දිග නිරූපණය කරයි. උතුරු යුරෝපයේ විශාල ශිලා ස්මාරකවල සාක්ෂි මගින් ලිවීම සොයා ගැනීමටත් පෙර මෙවැනි ත්‍රිත්ව දැන සිටි බවට සාක්ෂි දක්නට ලැබේ. මෙවැනි ත්‍රිත්වයක් පොදුවේ (a, b, c) ලෙස ලියනු ලැබේ. (3, 4, 5) හා (5, 12, 13) ඉතා හොඳින් හඳුනන නිදසුන් වේ.

100 දක්වා වූ මූලික පයිතගරස් ත්‍රිත්ව ලැයිස්තු‍ව පහත පරිදි වේ.

( 3, 4, 5), ( 5, 12, 13), ( 7, 24, 25), ( 8, 15, 17), ( 9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

අපරිමේය සංඛ්‍යාවල පැවැත්ම

පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙහි එක් ප්‍රතිඵලයක් වන්නේ දෙකෙහි වර්ග මූලය ( ${\sqrt {2}}$ ) වැනි අපරිමේය සංඛ්‍යා ගොඩනැගිය හැකි වීමයි. බද්ධ පාද දෙකෙහිම දිග ඒකක එකක් වන සෘජු කෝණී ත්‍රිකෝණයක ${\sqrt {2}}$ ක දිගක් ඇති විකර්ණයක් ඇත. පයිතගරස් හා ඔහුගේ අනුගාමිකයන් ${\sqrt {2}}$ අපරිමේය බව සාධනය කළ අතර අද එය අප අතරට ද පැමිණ‍ තිබේ. නමුත් ඔවුන්ගේම දැඩි විශ්වාසයට මෙය පටහැනි විය. පුරා වෘත්තාන්තවලට අනුව ප්‍රථමයෙන්ම වර්ගමූල දෙක අපරිමේය යැයි සාධනය කළ හිපාසස් (Hippasus) කළ වරදට දඬුවම් ලෙස මුහුදේ ගිල්වා මරා දමන ලදී

කාටිසීය ඛණ්ඩාංකවල දුර

කාටිසීය ඛණ්ඩාංකවල දුර පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙන් ව්‍යුත්පන්න කරයි. (x0, y0) හා (x1, y1) යනු තලයක වූ ලක්ෂ්‍ය නම් එවිට එම ලක්ෂ්‍ය දෙක අතර දුර එසේත් නැති නම් යුක්ලීඩ් දුර

{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}

මගින් දෙනු ලබයි.

පොදු වශයෙන් ගත් කල, යුක්ලිඩියානු n-අවකාශයෙහිදී, $A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ සහ $B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ යන ලක්ෂ්‍යය දෙකක් අතර යුක්ලිඩියානු දුර අර්ථදැක්වෙන්නේ, පහත අයුරු පයිතගරස් ප්‍රමේයය සාධාරණීකරණය කිරීමෙනි:

{\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.

ඉතිහාසය

ජ්‍යාමිතික ප්‍රමේයන්හි ඉතිහාසය කොටස් හතරකට බෙදිය හැකිය. එනම් පයිතගරස් ත්‍රික පිළිබඳ දැනුම, සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාද අතර සම්බන්ධය පිළිබඳ දැනුම, බද්ධ කෝණ අතර සම්බන්ධතාවය පිළිබඳ දැනුම හා ප්‍රමේයයේ ඇති සාධනයන් පිළිබඳ දැනුම වේ.

ඊජිප්තුවේ සර්කාවල (ක්‍රි.පූ 2500 වකවානුවට අයත්)සහ උතුරු යුරෝපයේ දැකිය හැකි දැවැන්ත ශෛලමය ස්මාරකවල පූර්ණ සංඛ්‍යාමය පාද සහිත ත්‍රිකෝණ දැක ගත හැකිය. බාටෙල් ලින්ඩර්ට් වෑන් ද වාර්ඩන්ගේ මතය නම් මෙය පයිතගරස් ත්‍රික වීජ ගණිතය ඇසුරින් සොයා ගන්නට ඇත යන්නයි.

ක්‍රි.පූ 2000 හා ක්‍රි.පූ 1786 අතර කාලයේදී ලියැවුණු ඊජීප්තුවේ මධ්‍යකාලීන යුගයට අයත් ‘බර්ලින් 6619’ නම් පැපිරස් පත්‍රිකාවේ පයිතගරස් ත්‍රිකයක් වහන ගැටළුවක්ද ඇතුළත් වී ඇත. ශ්‍රේෂ්ඨ හමුරාබිගේ රාජ්‍ය සමයේ නිර්මාණය කෙරුණු පිළිම්ටන් 322 (Pilimton 322) යන මෙසපොතේමියානු ඵලකයක පයිතගරස් ත්‍රිකයන්ට ආසන්න කරුණු ඇතුළත් වී ඇත. එය ලියැවී ඇත්තේ ක්‍රි.පූ 1790 හා 1750 අතර කාලයේ බව සැළකේ. ක්‍රි.පූ අටවන හා දෙවන සියවස් අතර කාලයක ලියවුණා යැයි සැලකෙන ඉන්දියානු බෞද්ධ්‍යාන සුල්බා සූත්‍රයෙහි වීජගණිතමය ලෙස අනාවරණය කළ පයිතගරස් ත්‍රික ලැයිස්තුවක් ද, සමද්වීපාද ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් සඳහා පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙහි ජ්‍යාමිතික සාධනයක් ද අන්තර්ගත විය.

අපස්ථම්භ සුල්බා සූත්‍රයෙහි (Apastamba Sulba Sutra) (සිරිකා - ක්‍රි.පූ 600) වර්ගඵල ආගණනයක් භාවිතයෙන් සංඛ්‍යාත්මකව කළ පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙහි සාධනයක් ඇතුළත් විය. එය ඊට පුර්වකාලීන සම්ප්‍රධායක් මත පදනම් වන්නට ඇතැයි වෑන් ද වාඩන්ගේ විශ්වාසය විය. ඇල්බ(ර්)ට් බර්ක්ට (Albert Burk) අනුව මෙය ප්‍රමේයයෙහි මුල්ම සාධනය වේ. තවද ඉන්දියාවේ ඇරකෝනම් ප්‍රදේශයට ගමන් කළ පයිතගරස් එහිදී එය පිටපත් කරගන්නට ඇති බවටද ඔහු මත පලකරයි.යුක්ලීඩ් ගැන ප්‍රොක්ලෝස් (Proklos’ s) ගේ විවරණයට අනුව පයිතගරස් ත්‍රික ගොඩනැංවීම සඳහා ක්‍රි.පූ 569 – 475 කාලයේ ජීවත් වූවා යැයි සැලකෙන පයිතගරස් විසින් වීජ ගණිත ක්‍රම භාවිතාකර තිබේ.නමුත් ප්‍රොක්ලෝස් මේ බව ලියා ඇත්තේ ක්‍රි.ව 410 ත් 485 ත් අතර කාලයේය. පයිතගරස් ජීවත් වු කාලයෙන් අනතුරුව ශතවර්ශ පහක් ගත වන තුරු පයිතගරස් විසින් මෙම ප්‍රමේයයන් නිර්මාණය කළ බවට කිසිම සඳහනක් නොමැතිබව ශ්‍රීමත් තෝමස් එල් හීත් ප්‍රකාශකර ඇත.කෙසේ නමුත් ප්ලූටැක් (Plutarch) හා සිසරෝ (Cicero) වැනි ලේඛකයන් මෙම ප්‍රමේයය ප්‍රකාශ කිරීමට භාවිතා කරන භාෂා විලාසය අනුව එය පයිතගරස්ගේ නිර්මාණයක් බව පිළිගත හැකිය.

ප්‍රොක්ලොස්ට (Proklos) අනුව ක්‍රි.පූ 400 දී පමණ ප්ලේටෝ (Plato) විසින් පයිතගරස් ත්‍රිකය සොයා ගැනීම සඳහා ක්‍රමයක් වීජ ගණිතය හා ජ්‍යාමිතිය සංයෝජනය කර ගනිමින් ඉදිරිපත් කර ඇත. ක්‍රි.පූ 300 දී සර්කාහිදී ලියැවුණු යුක්ලීඩ්ගේ “Elements” නම් ග්‍රන්ථය සඳහා පැරණිතම ප්‍රත්‍යක්ෂක සාධන ක්‍රමය ඉදිරිපත් කර තිබේ.

ක්‍රි.ව. 500 – 200 අතර කාලයේදී ලියැවුණූ ස්වර්ගයේ කේන්ද්‍රය සහ කවාකාර පථ පිළිබඳ අංක ගණිතය (Chon Pei Suan Ching) නැමති ග්‍රන්ථයෙහි පයිතගරස් ප්‍රමේයය සඳහා නව දෘශ්‍ය සාධනයක් ඉදිරිපත් කර ඇත. චීනයේ එය 3,4,5 ත්‍රිකෝණය සඳහා ගෝගු ප්‍රමේයය (Gougu Theorem) ලෙස හැඳින්වේ. 202 BC සිට 220 AD දක්වා වූ හැන් රාජ පරම්පරාවට අයත් කාලයේදී ගණිතමය කලාවෙහි පරිච්ඡේද නවයක් නම් ග්‍රන්ථයේ ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණ පිළිබඳ සඳහනක් සහ පයිතගරස් ත්‍රික දක්නට ලැබේ. චීනයේදී මෙය “ ගෝගු ප්‍රමේයය ” ලෙසද ඉන්දියාවේදී එය බස්කාරා (Bhaskara) ප්‍රමේයය ලෙසද හඳුන්වා ඇත.

පයිතගරස් ප්‍රමේයය කිහිපවරක් නැවත නැවත සොයා ගන්නා ලද්දේ ද යන්න පිළිබඳ දැඩි මත ගැටුම් පවතී. බෝයර් (1991) ට අනුව ශුල්බා සූත්‍රවල හමුවන මූලාංගයන් මෙසපොතේමියානු ආභාසයෙන් ලද ඒවා විය හැකිය.