කලනය

කලනය (කලනය යන අරුත් දෙන Calculus නම් ඉංග්‍රීසි වදන, ලතින් බසෙහි Calculus යන්නෙන් ව්‍යුත්පන්න වී ඇති අතර, ගණන් කිරීමට යොදා ගන්නා කුඩා ගල් වර්ගයකි යන අදහස දෙයි.) යනු සීමා, ශ්‍රිත, ව්‍යුත්පන්න, අනුකල, සහ අපරිමිත ශ්‍රේණි පිළිබඳ අධ්‍යයනය කෙරෙන ගණිතයේ ශාඛාවකි. මෙම විෂයය නවීන ගණිත අධ්‍යාපනයේ ප්‍රධාන කොටසකි. අවකලනය සහ අනුකලනය වශයෙන් එහි ප්‍රධාන ශාඛා දෙකක් පවතින අතර, ඒවා කලනයේ මූලික ප්‍රමේයය ඔස්සේ එකිනෙක හා බැ‍ඳේ.

ඉංජිනේරු විද්‍යාවේ සහ විද්‍යාවේදී කලනය බහුලව භාවිතා වන අතර වීජ ගණිතය ඇසුරෙන් පමණක් විසදිය නොහැකි ගැටළු විසදීම සදහා භාවිතා වේ. කලනය ගොඩනැගීම සදහා වීජ ගණිතය, ත්‍රිකෝණමිතිය සහ විශ්ලේෂි ජ්‍යාමිතිය බාවිතා වී ඇති අතර එයට කුලකයේ මූලික ප්‍රමේය මගින් එකිනෙකට සම්බන්ධ වී ඇති අවකලනය හා අනුකලනය නම් ප්‍රධාන කොටස් 2 ක ට අයත්ය. උසස් ගණිතයේදී කලනය, විශ්ලේෂණය යනුවෙන් හැදින්වෙන අතර ශ්‍රිතයන් පිලිබද අධ්‍යයනය ලෙස අර්ථ දැක්වේ.

කලනයේ මූලික මාතෘකා

• මූලික ප්‍රමේය
• ශ්‍රිතයක සීමාව
• සාන්තත්‍යය
• දෛශික කලනය
• න්‍යාය කලනය
• මධ්‍යන්‍යය අගය පිළිබද ප්‍රමේයය

අවකලනය

• ගුණිත නියමය
• ලබ්ධි නියමය
• දාම නීතිය
• අධ්‍යාගෘත අවකලනය
• ටේලර් ප්‍රමේය
• සම්බන්ධිත අනුපාත
• අවකලන ලැයිස්තුව
• සර්ව සාම්‍යයන්

ගුණිත නියමය

x විශයයයෙන් අවකල්‍ය ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතය අවකලනය කරන ආකාරය සලකා බලමු.
u හා v යනු xහි අවකල්‍ය ශ්‍රිත 2ක් වන විට,

${\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}$

ලෙස පද දෙකේ ගුණිත පදය අවකලනය කළ හැකිය.

සාධනය කිරීම:-

$y=uv\qquad (1)$

යැයි ගනිමු.

$x$ හි $\delta x$ වෘදිධියට අනුරූප $y$,$u$ හා $v$ හි වෘද්ධීන් $\delta y$,$\delta u$ හා $\delta v$ නම්,

$y+\delta y=(u+\delta u)(v+\delta v)\qquad (2)$

(02)-(01) න්,

${\begin{aligned}\delta y&=uv+u\delta v+v\delta u+\delta u\delta v-uv\\&=u\delta v+v\delta u+\delta u\delta v\end{aligned}}$

$\delta x$ වලින් බෙදු විට,

${\begin{aligned}{\frac {\delta y}{\delta x}}&=u{\frac {\delta v}{\delta x}}+v{\frac {\delta u}{\delta x}}+{\frac {\delta u\delta v}{\delta x}}\\\lim \limits _{\delta x\to 0}{\frac {\delta y}{\delta x}}&=\lim \limits _{\delta x\to 0}\left(u{\frac {\delta v}{\delta x}}+v{\frac {\delta u}{\delta x}}+{\frac {\delta u\delta v}{\delta x}}\right)\\&=u\lim \limits _{\delta x\to 0}{\frac {\delta v}{\delta x}}+v\lim \limits _{\delta x\to 0}{\frac {\delta u}{\delta x}}+\lim \limits _{\delta x\to 0}{\frac {\delta u\delta v}{\delta x}}\\\end{aligned}}$

එමනිසා ${\frac {dy}{dx}}$ අර්ථ දැක්වීම අනූව

${\frac {dy}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}+0$

${\frac {dy}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}$

අනුකලනය

• අනුකල ලැයිස්තුව
• විෂම අනුකල
• කොටස් වශයෙන් අනුකලනය
• තැටි ලෙස අනුකලනය
• සිලින්ඩර් ලෙස අනුකලනය
• කවච ලෙස අනුකලනය
• ආදේශක අනුකලනය
• ත්‍රිකෝණමිතික ආදේශක අනුකලනය
• භින්න භාග

කලනයේ භාවිතයන්

කලනය සමග බැදි ඇති වර්ධනයක් හා විචලනයන් නිරූපණය කිරීම සදහා Nautilus කවචයේ ලඝුගණක සර්පිල ස්වරූපය දැක්වෙන රූප අතීතයේ සිටම භාවිතා විය.

ගැටළුවක් ගණිතමය ලෙස ආදර්ශනය කල හැකි වන්න‍‍ා වුත්, ප්‍රශංසී විසදුමක් බලාපොරොත්තු වන්නා වූත් ඕනෑම ක්ෂේත්‍රයක් සඳහා කලනය යොදා ගත හැක. මේ අතරට පරිගණක විද්‍යාව සංඛ්‍යාතය, ඉන්ජිනේරු විද්‍යාව, ආර්ථික විද්‍යාව වෙළඳාම සහ වෛද්‍ය විද්‍යාව ආදි වු ස්වභාව විද්‍යාවන්ට අයත් සියළුම ක්ෂේත්‍ර අයත් වේ.

මේ අතරින් භෞතික විද්‍යාවේදී කලනය විශේෂයෙන් භාවිතා වේ. ප්‍රතිස්ඨිත/පැරණි භෞතික විද්‍යාවේ සියළු සංකල්ප කලනය ඔස්සේ අන්තර්සම්බන්ධිත වේ. ඝනත්වය දන්නා වස්තුවක ස්කන්ධය, වස්තූන්ගේ ආවස්ථිති ඝුර්ණය මෙන්ම සංස්ථිති ක්ෂේත්‍රයක් තුළ අන්තර්ගත වස්තුවක ශක්තියද කලනය අසුරින් ගණනය කල හැක. විද්‍යුතය සහ චුම්භකත්වය පිළිබඳ උපක්ෂේත්‍ර වලදී විද්‍යුත් චුම්භක ක්ෂේත්‍ර වලදී සම්පුර්ණ ස්‍රාවය සෙවීම සඳහා කලනය යොදා ගත හැක. තවද කලනයේ භාවිතය සදහා වඩාත් ඓතිහාසික උදාහරණයක් වන්නේ “විචලන සීඝ්‍රතාව” පිලිබඳ සෘජුව ප්‍රකාශ කරන නිව්ටන්ගේ චලිතය පිළිබඳ දෙවැනි නියමයයි. ඉන් කියවෙන්නේ වස්තුවක ගම්‍යතාව “වෙනස් වීමේ සීඝ්‍රතාව එය මත ක්‍රියාකල බලයට සමාන වන අතර ගම්‍යතාව වෙනස් වන දිශාව බලයේ දිශාව ඔස්සේම වේ” යන්නයි. එමෙන්ම ත්වරණය, ප්‍රවේගයේ ව්‍යුත්පන්නයක් සේ ප්‍රකාශ කළ හැකි බැවින් නිව්ටන්ගේ දෙවැනි නියමය ප්‍රකාශ කරන සාමාන්‍ය ආකාරය මත බලය = ස්කන්ධය x ත්වරණය(F=ma) යන සමීකරණයේද අවකලනය අන්තර්ගත වේ. මැක්ස්වෙල්ගේ විද්‍යුත්චුම්භකත්වය පිළිබඳ වාදය සහ අයින්ස්ටයින්ගේ සාමාන්‍ය සාපේක්ෂවාදය පවා ප්‍රකාශ කෙරෙනුයේ අවකලනය භාවිතයෙනි. විකිරණශීලි ක්ෂ්‍යවීමේ සීඝ්‍රතාවක් සහ ප්‍රතික්‍රියා සීඝ්‍රතා තිරණය කිරීම සඳහා රසායන විද්‍යාවේදී කලනය ප්‍රයෝජනවත් වේ.

කලනය වෙනත් ගණිතමය සංකල්ප සමග එක්ව යොදා ගැනීමද කළ හැකි අතර වසමකට අයත් ලක්ෂ කලකයක් සඳහා රේඛීය සන්නිකර්ෂණයේ සුදුසුතම අනුසීනුව සොයා ගැනීම සඳහා රේඛීය වීජ ගණිතයේදී කලනයේ භාවිතයන් මෙවන් අවස්ථාවකට උදාහරණයකි.

වෛද්‍ය විද්‍ය‍ාවේදී ලේ ගමණාගමනය උපරිම වීම සඳහා රුධිර වාහිණියක් සතුවිය යුතු ප්‍රසංගී ශාඛක කෝණය ගණනය කිරීම සඳහා කලනය යොදා ගත හැක. විශ්ලේෂි ජ්‍යාමිතියේ ශ්‍රිතයන් ප්‍රස්ථාරවල උපරිම හා අවම ලක්ෂයන්‍, බෑවුම, අවකලතාව සහ නතිවර්තන ලක්ෂ සෙවීම සඳහා කලනය යොදා ගැනේ.

ආර්ථික විද්‍යාවේදී කලනය ආන්තික වියදම සහ ආන්තික බදු ප්‍රමාණය ගණනය කිරීමට පහසු ක්‍රමයක් සැලසීම මගින් උපරිම ලාභය ගණනය කිරීමට ඉඩ සලසයි.

නිව්ටන් ක්‍රමය, අචල ලක්ෂ ප්‍රතඃකරණය සහ රේඛීය සන්නිකර්ෂණය වැනි ක්‍රමයේදී සමීකරණ සඳහා සන්නිකර්ෂණ විසදුම් ගණනය කිරීම සඳහා කලනය යොදාගත හැක. උදාහරණයක් ලෙස අභ්‍යවකාශ යානා සඳහා ශුන්‍ය ගුරුත්ව අවකාශ තල වක්‍රාකාර ගමන්පත් සන්නිකර්ෂණය කිරීමට ඉයුලර් ක්‍රමයේ එක් ආකාරයක් යොදා ගැනීම පෙන්වාදිය හැක.