බහුවලයික ශ්‍රිත

මූල ලක්ෂ්‍යය හරහා යන කිරණයකට, $\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ න් නිරූපිත බහුවලය හමුවන්නේ, $\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)$ ලක්ෂ්‍යයේ දී වන අතර, මෙහි $\scriptstyle a$ යනු, කිරණය, $\scriptstyle x$-අක්ෂයයට සාපේක්ෂව එහි ප්‍රතිබිම්භය, හා බහුවලය අතර වර්ගඵලයයි. (ත්‍රිකෝණමිතික (චක්‍රීය) ශ්‍රිත සමග සංසන්දනය තකා සජීවීකරණය කරන ලද අනුවාදය බලන්න.)

ගණිතයේ දී , බහුවලයික ශ්‍රිත, සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණමිතික හෝ චක්‍රීය ශ්‍රිතවලට සමාකාර වේ. මූලික බහුවලයික වනුයේ, ශ්‍රිත බහුවලයික සයිනය "sinh" හා බහුවලයික කෝසයිනය "cosh" වන අතර, ඒවා අනුසාරයෙන්, බහුවලයික ටැංජනය "tanh" ආදි අනෙකුත් ශ්‍රිත ව්‍යුත්පන්න වන්නේ, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත ව්‍යුත්පන්නයට ප්‍රතිසමතාවක් දක්වමිනි. ප්‍රතිලෝම බහුවලයික ශ්‍රිත වනුයේ, ප්‍රතිලෝම බහුවලයික සයිනය "arsinh" ("arcsinh" හෝ "asinh" යැයි ද කියති) ආදීය වෙති.

(cos t, sin t) ලක්ෂ්‍යයන් එක්ව ඒකක අරයක් සහිත වෘත්තයක් සදනවා මෙන්ම, (cosh t, sinh t) ලක්ෂ්‍යයන් එක්ව සමපාද බහුවලයක දකුණු කොටස සදයි. බහුවලයික ශ්‍රිතයන්, සමහරක් වැදගත් රේඛීය අවකල සමීකරණ වල විසඳුම්හි අපට හමුවන අතර, නිදසුන් වශයෙන් එල්ලෙන තන්තුවල හැඩය නිර්ණය කිරීම, දාම චක්‍ර සහ විද්‍යුත් චුම්භකත්වය, තාප සංක්‍රාමණය , තරල ගතිවිද්‍යාව හා විශේෂ සාපේක්ෂතාවාදය වැනි භෞතික විද්‍යා ක්ෂේත්‍රවල වැදගත් වන ලප්ලාස් සමීකරණය (කාටිසියානු ඛණ්ඩාංකවලදී) ආදිය දැක්විය හැක.

බහුවලයික කෝණ ලෙස කියනු ලබන තාත්වික විචල්‍ය සඳහා බහුවලයික ශ්‍රිත විසින් තාත්වික අගයක් ගනී. සංකීර්ණ විශ්ලේෂණයේදී ඒවා සරලව ඝාතීයවල පරිමේය ශ්‍රිතවන අතර එම නිසා භාගරූප ද වේ.

මෙවා හඳුන්වාදෙන ලද්දේ, 18වන සියවසෙහි ස්විස් ජාතික ගණිතඥ ජොහාන් හෙන්රිච් ලැම්බට් විසිනි.

සම්මත වීජීය ප්‍රකාශනයන්

sinh, cosh and tanh

csch, sech and coth

බහුවලයික ශ්‍රිතයන් වනුයේ:

• බහුවලයික සයිනය:

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!$

• බහුවලයික කෝසයිනය:

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!$

• බහුවලයික ටෑංජනය:

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-i\tan ix\!$

• බහුවලයික කෝටෑංජනය:

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=i\cot ix\!$

• බහුවලයික සෙකැන්ට‍ය:

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec {ix}\!$

• බහුවලයික කෝසෙකෑන්ටය:

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!$

මෙහි $i$ යන ඒකක අතාත්විකය අර්ථ දැක්වෙනුයේ $i^{2}=-1$ ලෙසය.

ඉහත අර්ථදැක්වීම් වල සංකීර්ණ ආකාර ව්‍යුත්පන්න කෙරෙනුයේ ඉයුලර්ගේ සූත්‍රය අනුවය.

සම්මුති ප්‍රකාර, $\sinh ^{2}x$ යන්නෙන් අදහස් කෙරෙනුයේ $(\sinh x)^{2}$, මිස $\sinh(\sinh x)$ නොවන බව කරුණාවෙන් සලකන්න; අනෙකුත් බහුවලයික ශ්‍රිත සහ ධන දර්ශක සඳහාද මෙපරිද්දෙන්ම සලකන්න.