ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්හී අවකලනය

ශ්‍රිතය	අවකල්‍යය
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\arcsin(x)$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	${\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arctan(x)$	${\frac {1}{x^{2}+1}}$

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්හී අවකලනය යනු, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක අවකල්‍යය හෝ කිසියම් විචල්‍යයකට සාපේක්ෂව එහි අගය වෙනස්වීමෙහි සීඝ්‍රතාවය හෝ සෙවීමෙහි ගණිතමය ක්‍රියාවලිය වෙයි. පොදුවේ භාවිතා වන ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්ට sin(x), cos(x) සහ tan(x) ඇතුළත් වෙති. නිදසුනක් වශයෙන්, f(x) = sin(x) හී අවකල්‍යය නිරූපණය කෙරෙන්නේ f ′(a) = cos(a) ලෙසිනි. f ′(a) යනු a නම් විශේෂිත ලක්ෂ්‍යයකදී sin(x) හී වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාවය වෙයි.

වෘත්තක ත්‍රිකෝණතික ශ්‍රිතයන්හී සියළු ව්‍යුත්පන්න, sin(x) සහ cos(x) යන්නන්හී අවකල්‍යයන් භාවිතයෙන් සොයා ගත හැකිය. ඵලිත ප්‍රකාශනය අවකලනය කිරීමට ඉන්පසු ලබ්ධි නීතිය යොදා ගැනෙයි. ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්ගේ අවකල්‍යයන් සෙවීමේදී අධ්‍යාහෘත අවකලනය සහ සවිධි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්ගේ අවකල්‍යයන් භාවිතා කිරීම අදාළ වෙයි.

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්ගේ සහ ඒවායේ ප්‍රතිලෝමයන්ගේ අවකල්‍යයන්

${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)$

${\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)$

${\frac {d}{dx}}\tan(x)=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)=\sec ^{2}(x)$

${\frac {d}{dx}}\cot(x)=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-(1+\cot ^{2}(x))=-\csc ^{2}(x)$

${\frac {d}{dx}}\sec(x)=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}\cdot {\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)$

${\frac {d}{dx}}\csc(x)=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}\cdot {\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)$

${\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\frac {d}{dx}}\arccos(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

${\frac {d}{dx}}{\mbox{arccot}}(x)={\frac {-1}{1+x^{2}}}$

${\frac {d}{dx}}{\mbox{arcsec}}(x)={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\frac {d}{dx}}{\mbox{arccsc}}(x)={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්ගේ අවකල්‍යයන්ගේ සාධනයන්

0 වෙතට θ එළඹෙත්ම sin(θ)/θ හී සීමාව

වෘත්තය, කේන්ද්‍රය O, අරය r

දකුණෙහි දැක්වෙන රූපසටහන විසින්, කේන්ද්‍රය O සහ අරය r වන වෘත්තයක් දැක්වෙයි. OA සහ OB යන අරයයන් දෙක විසින් O වෙත සාදන කෝණය θ වන බව සිතමු. අපගේ අවධානය යොමු වී ඇත්තේ ශුන්‍යය වෙත θ එළැඹෙත්ම සීමා සෙවීම වෙත වන බැවින්, θ යනු ඉතා කුඩා ධන සංඛ්‍යාවක් බවට අපට උපකල්පනය කල හැක: 0 < θ ≪ 1.

රූපසටහනෙහි පහත දැක්වෙන කොටස් තුන සලකමු: R₁ යනු OAB ත්‍රිකෝණයද, R₂ යනු OAB වෘත්තමය ඛණ්ඩකයද සහ, R₃ යනු OAC ත්‍රිකෝණයද වෙති. පැහැදිලි ලෙසින්:

${\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\,.$

මෙහි ${\text{Area}}(R_{1})$ යනු R₁ කොටසෙහි වර්ගඵලයද, ${\text{Area}}(R_{2})$ යනු R₂ කොටසෙහි වර්ගඵලයද, ${\text{Area}}(R_{3})$ යනු R₃ කොටසෙහි වර්ගඵලයද වෙයි

මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර භාවිතයෙන්, OAB ත්‍රිකෝණයෙහි වර්ගඵලය වන්නේ

${\frac {1}{2}}\times ||OA||\times ||OB||\times \sin \theta ={\frac {1}{2}}r^{2}\sin \theta \,.$

OAB වෘත්තමය ඛණ්ඩකයෙහි වර්ගඵලය යනු ${\frac {1}{2}}r^{2}\theta$ වන අතර, OAC ත්‍රිකෝණයෙහි වර්ගඵලය දෙනු ලබන්නේ

${\frac {1}{2}}\times ||OA||\times ||AC||={\frac {1}{2}}\times r\times r\tan \theta ={\frac {1}{2}}r^{2}\tan \theta \,.$ විසිනි

මෙම කොටස් තුන එක්ව සැලකීමට ලක් කිරීමෙන්:

${\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\frac {1}{2}}r^{2}\sin \theta <{\frac {1}{2}}r^{2}\theta <{\frac {1}{2}}r^{2}\tan \theta \,.$

r > 0 බැවින්, මුළු ප්‍රකාශනය ½•r² වෙතින් බෙදීම අපට කල හැකි වෙයි. මෙයින් ගම්‍ය වන්නේ සංස්ථානය සහ ගණනය කිරීම් සියල්ල වෘත්තයෙහි අරයෙන් ස්වායත්ත වන බවයි. තවදුරටත්, 0 < sin θ ≪ 1 යන්න පළමු වෘත්ත පාදයෙහි වන බැවින්, sin θ > 0 වන අතර sin θ, වෙතින් මුළු ප්‍රකාශනය බෙදීමෙන් පහත ප්‍රකාශනය ලැබෙයි:

$1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.$

අවසන් පියවරෙහිදී අප විසින් සිදු කලේ පද තුනෙන් එකින් එකෙහි ප්‍රතිලෝමය ගැනීමයි. පද තුනම ධන වන බැවින් මෙයින් සිදු වූයේ අසමානතා ප්‍රතිවර්තනය වීමයි, නිද. 2 < 3 නම්, එවිට ½ > ⅓.