අංක ගණිතයේ මූලික ප්‍රමේයය

Fundamental theorem of algebra සමග වරදවා වටහා ගැනීමෙන් වළකින්න.

In Disquisitiones Arithmeticae (1801) Gauss proved the unique factorization theorem and used it to prove the law of quadratic reciprocity.

සංඛ්‍යා සිද්ධාන්තයේ දී, අංක ගණිතයේ මූලික ප්‍රමේයය (අනන්‍ය ප්‍රථමක සාධක සෙවීමේ ප්‍රමේයය) කියා සිටින්නේ 1ට වඩා වැඩි ඕනෑම ප්‍රකෘති සංඛ්‍යාවක් ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවල අනන්‍ය ගුණිතයක් ලෙස ලිවිය හැකි බවයි. උදාහරණ ලෙස

$6936=2^{3}\times 3\times 17^{2},\,\!$

$1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}.\,\!$

6936 හෝ 1200 ප්‍රථමක සංඛ්‍යා බවට සාධක කිරීම් වෙන කිසිවක් නොමැත. ඉහත ඉදිරිපත් කිරීමේ දී හඳුනාගැනීමේ පහසුව උදෙසා නැවත නැවත භාවිතා වන ප්‍රථමක සාධක බල බවට පත් කර ඇත. ගුණ කිරීම න්‍යායාදේශ හා සංඝටන වන නිසා සාධකයේ පිළිවෙල නොවන අතර සාමාන්‍යයෙන් ආරෝහණ ආකාරයට පිළියෙල කරනු ලැ‍බේ. බොහොමයක් නිර්මාණකරුවන් ප්‍රකෘති සංඛ්‍යාවල ආරම්භය ලෙස ගන්නේ ප්‍රථමක සාධක කරණයක් නොමැති 0 යි. ඒ අනුව හාර්ඩි හා රයිට් (1979) ගේ 1 වන ප්‍ර‍මේයය කියා සිටින්නේ “1 හැර සියලු ධන නිඛිල ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවල ගුණිත වේ” යන්නයි. 2වන ප්‍රමේයය (ඔවුන්ගේ මූලිකය) අනන්‍යතාව ප්‍රකාශ කරයි. අංක 1 ප්‍රථමකයක් නොවේ. නමුත් එය කිසිදු සංඛ්‍යාවක ගුණිතයක් නොවන නිසා එය හිස් ගුණිත නීතිය මඟින් ප්‍රමේයයට ඇතුළත් කිරීම යෝග්‍ය වේ. (උදාහරණ ලෙස මහා පොදු සාධකය ගණනය කිරීම බලන්න) හාර්ඩි හා රයිට් අනන්‍ය ප්‍රථමක සාධක කිරීමක් නොමැති අසාමාන්‍ය සංඛ්‍යායක් , කල්පිත සංඛ්‍යාවක් ලෙස අර්ථ දැක්වීය. ඔවුන් අසාමාන්‍ය සංඛ්‍යායක් , නොමැති බව පෙන්වා දෙමින් අංක ගණිතයේ මූලික ප්‍රමේයය ඔප්පු කරන ලදී.

ආශ්‍රිත ලිපි

• Integer factorization
• Prime signature

මූලාශ්‍ර

The Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.

• Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, ISBN 978-0-387-96254-2, https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-96254-2 
• Gauss, Carl Friedrich (1965) (in de), Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § n". Footnotes referencing the Disquisitiones Arithmeticae are of the form "Gauss, DA, Art. n".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6 
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7 

These are in Gauss's Werke, Vol II, pp. 65–92 and 93–148; German translations are pp. 511–533 and 534–586 of the German edition of the Disquisitiones.

• Euclid (1956), The thirteen books of the Elements, 2 (Books III-IX), Translated by Thomas Little Heath (Second Edition Unabridged ed.), New York: Dover, ISBN 978-0-486-60089-5, https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938], An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5, MR 2445243, Zbl 1159.11001
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company .
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall .
• Riesel, Hans (1994), Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5 
• Weil, André (2007), Number Theory: An Approach through History from Hammurapi to Legendre, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 978-0-817-64565-6 

භාහිර සබැඳි

• Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?
• GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at cut-the-knot.
• PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic
• Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization, a blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Diophantus of Alexandria to the proof by Andrew Wiles.
• "Fundamental Theorem of Arithmetic" by Hector Zenil, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Grime, James, "1 and Prime Numbers", Numberphile (Brady Haran), https://www.youtube.com/watch?v=IQofiPqhJ_s