සයින් නියමය

මෙම ලිපිය ත්‍රිකෝණමිතියෙහි සයින් නියමය පිළිබඳවයි. භෞතික විද්‍යාවේ සයින් නියමය සඳහා ස‍නෙල් නියමය බලන්න.

ත්‍රිකෝණමිතියේදී සයින් නියමය (හෝ සයින් නීතිය, සයින් සූත්‍රය) යනු තලයක වූ අභිමත ත්‍රිකෝණයක් පිළිබඳ වූ ප්‍රකාශනයකි. එම පාදවලට ප්‍රතිමුඛ කෝණ a, b හා c ද නම් එවිට සයින් නියමයෙන් ප්‍රකාශ වන්නේ,

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R$

මෙහි R යනු ත්‍රිකෝණයේ පරිවෘත්තයේ අරයයි. ත්‍රිකෝණකරණ ශිල්පීය ක්‍රමයේ පොදු ගැටළුවක් වන ත්‍රිකෝණයක පාදයක් හා කෝණ යුගලයක් දන්නේ නම් ඉතිරි පාද දෙක සෙවීම සඳහා මෙම නියමය ප්‍රයෝජනවත් වේ. එලෙසම ත්‍රිකෝණයේ පාද දෙකක් හා එම පාද දෙකින් සංවෘත නොවන කෝණයක් දන්නා විටද මෙය භාවිතා කළ හැක‍. මෙහිදී සංවෘත කෝණය සඳහා අගයන් දෙකක් ලැබිය හැක. එලෙස අගයන් දෙකක් ලැබුණු විට , එම එක් අගයක් පමණක් සියලු කෝණ $180^{\circ }$ ට වඩා අඩු අගයන් ලබා දීමට හේතුපාදක වේ. එසේ නොමැති විට එම ත්‍රිකෝණ සඳහා වලංගු විසඳුම් දෙකක් ඇත. (වැඩි විස්තර සඳහා මෙම ලිපියෙහි උභ්‍යාර්ථ අවස්ථාව යන කොටස බලන්න.)

තවද,

${\begin{aligned}2R={\frac {abc}{2A}}&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}.\end{aligned}}$

මෙහි A යනු ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය වන අතර s යනු අර්ධ පරිමිතිය වෙයි

$s={\frac {a+b+c}{2}}.$

මෙම දෙවන තුල්‍යතාව හෙරොන්ගේ සූත්‍රයයි.

References

http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_sines