ප්‍රථමක සංඛ්‍යා - ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවල ලක්ෂණ
- දහයේ පාදයෙන් ලියන විට 2 සහ 5 හැරුණු විට සියලුම ප්‍රථමක සංඛ්‍යා අවසාන වන්නේ 1,3,7 හෝ 9 යන ඉලක්කමකින් වේ. (0,2,4,6,8 යන ඉලක්කම්වලින් අවසන් වන සංඛ්‍යා 2හි ගුණාකාර වන අතර 0 හෝ 5 න් අවසන් වන සංඛ්‍යා 5 ගුණාකාර වේ)
- p ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් නම් ද , p හා ab නම් නිඛිල ගුණිතය බෙදේ නම් ද a හෝ b , p මගින් බෙදේ. මෙම ප්‍රස්තුතය යුක්ලීඩ් මගින් ඔප්පු කරන ලද අතර යුක්ලීඩ් උපසාධ්‍ය ලෙස හැදින්වේ. මෙම උපසාධ්‍යය ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවල සාධක සෙවීමේ අනන්‍ය බව සාධනය කිරීමට යොදා ගැනේ.
- |n| කුලකය (මාපාංකය අංක ගණිතය බලන්න) ක්ෂේත්‍රයක් වනනේ n ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් නම් පමණි. වෙන අයුරකින් කිවහොත් n ප්‍රථමකයක් වන්නේ ψ(n) = n -1 නම් පමණි.
- p යනු 2 හෝ 5 හැර වෙනත් ඕනෑම ප්‍රථමකයක් වූ විට 1/p අනිවාර්යෙන්ම සමාවර්ත දශමයක් වන අතර එහි ආවර්තය p -1 හෝ එහි භාජකයක් වේ. මෙම ප්‍රතිඵල සෘජුව ෆර්මාගේ ප්‍රමේයෙන් අපෝහණය කළ හැක. තවද (දහයේ පාදය හැර) q පාදයට ලියූ විට 1/p මගින් ලැබෙන ඵලය p , q හි ප්‍රථමක සාධයක් නොවන කල්හි මුල් ප්‍රතිඵලයටම සම වේ. සමාවර්ත දශම පිළිබද ලිපියේ මීට අදාල , සමහර වැදගත් කරුණු සදහන් වේ.
- ක්‍රමාරෝපිත (p-1)! + 1 p මගින් භාජ්‍ය වේ නම් පමණක් p > 1 වූ කල්හි p නිඛිලය ප්‍රථමකයක් වේ. (විල්සන් ප්‍ර‍මේය) මෙහි විලෝමයට අනුව (n-1)! n වලින් බෙදේ නම් පමණක් n>4 වූ කල්හි n නිඛිලය සංයුත වේ.
- n යනු 1ට වඩා විශාල ධන නිඛිලයක් වූ කල්හි n<p<2n ආකාරයට හැමවිටම p නම් ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් පවතී. (බර්ට්‍රන්ඩ් උප ග්‍රහණය)
- සියලුම ප්‍රථමකයන්ගේ පරස්පරයන්ගේ ඓක්‍යය ගත් විට ප්‍රතිඵලය ලෙස අපසාරී අපරිමිත ශ්‍රේණියක් ලැබේ. වඩාත් නිවැරදිව ප්‍රකාශ කර විට , p < x විට p ද ඇතුළුව සියළු ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවල පරස්පරයන්හි ෛඑක්‍යය S(x) මගින් නිරූපිත නම් එවිට
S(x) = InIn x + O(1) , x 
∞ සදහා
- a හා q ධන නිඛිල හා අනුයාත ප්‍රථමක වන කල්හි a, a+q , a+2q , a+3q …….. ආකාරයේ සියලු අංක ගණිතම ශ්‍රේඪීන් අපරිමිත ප්‍රථමක සංඛ්‍යා ගණනක් දරයි.(අංක ගණිතමය ශ්‍රේඪි සදහා දිරිෂ්ලේ ප්‍රමේයය)
- ඕනෑම ක්ෂේත්‍රයක ලාක්ෂණිකය ශූන්‍ය හෝ ප්‍රථමක වේ.
- G පරිමිත සමූහයක් ද G හි ගණය බෙදිය හැකි p ප්‍රථමකයේ උච්චතම බලය pn ද විට G ට pn ගණයේ උප සමූහ ඇත. (කෝෂි ප්‍රමේයය)
- ප්‍රථමක සංඛ්‍යා ප්‍රමේයට අනුව x ට අඩු ප්‍රථමකයන්ගේ අනුපාතය 1/Inx ට සපර්ශෝන්මුඛ වේ. (වෙනත් වචන කිවහොත් x ඉතා විශාල වන කල්හි x ට අඩු සංඛ්‍යාවක් ප්‍රථමකයක් වීමේ හැකියාව x හි ඇති සංඛ්‍යා ගණනට ප්‍රතලෝම සමානුපාතික වේ)
- දහයේ පාදයේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යා සදොමායනය කිරීමෙන් ලබාගන්නා කෝප්ලන්ඩ් ඒඩොස් නියතය (0.235711131719232931374143.........) අපරිමේය සංඛ්‍යාවක් වේ.
- රීමන් සීමා ශ්‍රිතයේ සංකීර්ණ තලයේ එක් එක් ලක්ෂයේ අගය Re(s) > 1 : ආකාරයේ සියලු ප්‍රථමක කුලකයේ ගුණිතය මගින් අර්ථ දැක්වෙන ආකාරයට භාග රූප ශ්‍රිතයක සන්නාතිකාවක් ලෙස දෙනු ලැබේ.
- p >1 වූ කල්හි xp-1 + xp-2 + ……….. +1 යන බහුපදය Z/pZ මතින් අනුපාතීය වන්නේ p ප්‍රථමකයක් වූ විට පමණි.
- 3 ට වැඩි සියලු ප්‍රථමක සංඛ්‍යා 6n – 1 හෝ 6n +1 ආකාරයේ වේ. ඊට හේතුව අන් සියලු සංඛ්‍යා 2න් හෝ 3න් බෙදිය හැකි වීමයි. මෙය පහත ලෙස සාධාරණීකරණය කළ හැක. q ට වඩා වැඩි සියලු ප්‍රථමක සංඛ්‍යා q # n +m ගණයේ වේ. මෙහි 0 < m < q ද m ට q ට සම හෝ කුඩා ප්‍රථමක සාධක නොමැත.
ප්‍රථමක සංඛ්‍යා වර්ගීකරණය
[සංස්කරණය]- ප්‍රථමක සංඛ්‍යා වර්ගීකරණ ක්‍රම දෙකක් පෝල් ඒඩොස් හා ජෝන් සෙල්ෆ්‍රිජ් විසින් අධ්‍යයනය කර ඇත. ඒවා n+ පන්තිය හා n- පන්තිය ලෙස නම් කෙරේ.
p නම් ප්‍රථමකයක n+ පන්තිය නිර්ණය සදහා p + 1 විශාලම ප්‍රථමක සාධකය සෙවිය යුතුය. එම මහා ප්‍රථමක සාධකය 2 හෝ 3 නම් p “1+” පන්තියට අයත්ය. එහෙත් එම මහා ප්‍රථමක සාධකය q නම් තවත් ප්‍රථමකයක් වේ නම් p අයත් n+ පන්තිය q අයත් n+ පන්තියට 1ක් එක් කිරීමෙන් ලැබේ. A005105 සිට A005108 දක්වා අනුක්‍රමයේ 1+ සිට 4+ පන්තිය දක්වා පන්ති ඇතුළත්ය.
n- පන්තිය n+ පන්තියට බොහෝ සෙයින් සමාන වන අතර වෙනස වන්නේ p + 1 හි සාධක වෙනුවට p -1 හි සාධක සෙවීමයි
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number#Properties_of_primes