ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා - ගුණ
සියලු a, b සදහා a + 0 = a හා a + S(b) = S(a + b) ලෙස පිහිටුවමින් කෙනෙක් හට ප්‍රකෘති සංඛ්‍යාවල ආකලනය නැවත නැවත අර්ථකථනය කළ හැක. මෙය ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා (N, +), සර්වසාම්‍ය අවයවය 0 සමග එක් ජනකයක් සමඟ නිදැලි ඒකාභය ලෙස හඳුන්වන න්‍යාදේශ ඒකාභයක් බවට හරවයි. මෙම ඒකාභය කපා හැරීමේ ගුණය තෘප්ත කරන අතර කාණ්ඩයක් තුළ ඇතුළත් කළ හැක. ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා අඩංගු කුඩාම කාණ්ඩය නිඛිලයි.
අපි 1 := S(0), ලෙස අර්ථ දැක්වුවහොත් එවිට b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). එනම් b + 1 යනු b හි අනුයාත පදයයි.
සමානුරූපීව ආකලනය අර්ථ කථනය කර ඇතැයි සලකමින් , ගුණනය × a × 0 = 0 හා a × S(b) = (a × b) + a. මගින් අර්ථකථනය කළ හැක. මෙමගින් (N*, ×) සර්වසාම්‍ය අවයවය සමගින් නිදැලි න්‍යාදේශ ඒකාභයක් බවට හරවයි. මෙම ඒකාභයෙහි උත්පාදක කුලකයක් ලෙස ප්‍රථමක සංඛ්‍යා කුලකය ගත හැක. ආකලනය හා ගුණනය අනුරූපී වන අතර එය විභේදන නියමය : a × (b + c) = (a × b) + (a × c). මගින් ප්‍රකාශනය වේ. ආකලනයේ හා ගුණනයේ මෙකී ගුණ , ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා , න්‍යාදේශ අර්ධ චලයයක නිදසුනක් බවට පත් කරයි. අර්ධ චලයයක් යනු ගුණනය න්‍යාදේශවීම අත්‍යවශ්‍ය නොවන ප්‍රකෘති සංඛ්‍යාවල සාධාරණීකරණයකි.
අපි ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා “0 නොසලකා” හා “1න් පටන්ගන්නා” ලෙස පහදා ගතහොත් a + 1 = S(a) හා a × 1 = a සමග ඇරඹීම හැරුණුකොට + හා × අර්ථකථන ඉහත පරිදිම වේ. වාර්තාව් ඉතිරි කෙටස් වලදී, a x b ගුණිතය නිරුපනයට අපි ab යොදා ගන්නා අතර සම්මත කර්ම අනුපිලිවේලද උපකල්පනය කරමු. තවදුරටත් , a + c = b වන පරිදි c ලෙස ප්‍රකෘති සංඛ්‍යාවක් පවතින්නේ නම් හා නම්ම පමනක් a ≤ b ලෙස ලිවීම මඟින් ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා මත සමස්ත අනුපිළිවෙල අර්ථකථනය කළ හැක. මෙම අනුපිළිවෙල පහත ආකාරයෙන් ගණිත කර්ම සමග අනුකූල වේ. a, b හා c ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා හා a ≤ b විට a + c ≤ b + c හා ac ≤ bc වේ. ප්‍රකෘති සංඛ්‍යාවල වැදගත් ලක්ෂණයක් නම් ඒවා සුසුම්පාදිත වීමයි එනමි , සෑම ශූන්‍ය නොවන ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා කුලකයටම අඩුම තරමින් එක් අවයවයක්වත් පවතී. සුසුම්පාදිත කුලක අතර තත්වය ක්‍රමසූචක සංඛ්‍යාවක් මගින් ප්‍රකාශය ෙවි, ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා සඳහා මෙය "ω"ලෙස ප්‍රකාශ කරනු ලැබේ. එක් ප්‍රකෘති සංඛ්‍යාවක් තවත් එකකින් බෙදූ උත්තරය ලෙස ප්‍රකෘති සංඛ්‍යාවක් ලබා ගැනීම කළ නොහැකි විට ශේෂය බෙදී‍ෙම් ක්‍රියාපටිපාටිය ආදේශයක් ලෙස පවතී. b ≠ 0 වන ඕනෑම a හා b ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා දෙකක් සඳහා අපට පහත ප්‍රකාශයට අනුකූල වන ලෙස q හා r ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා ලබා ගත හැක.
a = bq + r හා r < b
b මගින් a බෙදූමෙහි q සංඛ්‍යාව ලබ්ධිය ලෙසත් r ශේෂය ලෙසත් හදුන්වයි. q හා r සංඛ්‍යා a හා b මගින් අනන්‍ය ලෙස නිශ්චය කරයි. බෙදුම් ඇල්ගෝරිතමය, තවත් සමහරක් ගුණ (භාජ්‍යතාව) ඇල්ගෝරිතම (යුක්ලීඩියානු ඇල්ගෝරිතමය වැනි) හා සංඛ්‍යාවාදයේ සංකල්ප හැදෑරීම සඳහා මාර්ගයකි.
ආකලණය ( සර්ව සාම්‍ය අවයවය බිංදුව සමග) හා ගුණනය (සර්ව සාම්‍ය අවයවය එක සමග ) යටතේ බිංදුව ද ඇතුළත්ව ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා න්‍යාදේශ ඒකාභයක් සාදයි.