ගණිත අභ්‍යුහනය

අභ්‍යූහන ක්‍රමය සාමන්‍යයෙන් පෙලකට තබා ඇති ඩොමිනෝ දාදු කැටවල අනුක්‍රමික වැටිමට සමාන කල හැකිය. dominoes.

අභ්‍යූහන ක්‍රමය ගණිතයේ එන සාධන ක්‍රමයකි. මෙයින් දෙන ලද විජීය ප්‍රකාශනයක් හෝ සමිකරණයක් ප්‍රකෘති සංඛායා කුලකයට සත්‍ය බව පෙන්විය හැක. සාධනයේ අදියර දෙකක් පවති . මුල් අදිරයේදි වීජීය ප්‍රකාශනයක් n=1 අවස්ථාවට සත්‍ය යැයි සාධනය කරනු ලැබේ. දෙවන අදියරයේදි n=p අවස්ථාවට සත්‍ය යැයි උපකල්පනය කර n=p+1 අවස්ථාවට සත්‍ය යැයි සාධනය කෙරේ.

මෙම ක්‍රමය කුලක වාදයේ එන රුක් සටහන් වැනි ව්‍යූහ සාධනය කිරිමට යොදා ගැනේ. එට සාමාන්‍යයෙන් ව්‍යුහමය අභ්‍යුහනය ලෙස හඳුන්වයි. එය ගණිත තර්කවලදී හා පරිගණක තාක්ෂණයේදී යොදා ගනී.

ගණිත අභ්‍යුහනය, අභ්‍යුහනය තර්කනය ලෙස වරදවා වටහ‍ා නොගත යුතුයි. එය ගණිතයේදී ඉතා නිවැරදි ක්‍රමයක් ලෙස නොගැගේ. (Non – rigorous) ලෙස පවතී. (වැඩිපුර තොරතුරු සඳහා අභ්‍යුහනය ගැටළු බලන්න.) ඒ අනුව ගණිත අභ්‍යුහනය යනු ඉතා නිවැරදි ආරෝහණ ක්‍රමයක් වේ.

ඉතිහාසය

ගණිත අභ්‍යුහනයේ සංකල්පය භාවිතා කල මුල්ම අවස්ථාව ලෙස එයුක්ලීඩ් විසින් ඉදිරිපත් කරන ලද ප්‍රථමක සංඛ්‍යා අනන්ත ප්‍රමාණයක් ඇතැයි පවසන සාධනයේ දැක ගත හැක. මෙම ක්‍රමයෙන් කල මුල්ම සාධනය ලෙස සැලකිය හැක්කේ ඉස්ලාමික ගණිතඥයෙක් වන අල් කාරාජි විසින් ද්වීපද ප්‍රමේය සහ පැස්කල් ත්‍රිකෝණයේ ලක්ෂණ සාධන කිරිමට උපයෝගි කර ගැනීමටයි

විස්තර කිරීම

වඩාත් සරලතම වූත් බහුලවම භාවිතාවන්නා වූත් ගණිතම අභහුන්‍ය මඟින් n නම් ප්‍රකෘති සංඛ්‍යාවක් සඳහා අදාල වන ප්‍රකාශයක් n හි ඕනෑම අගයක් සඳහා වලංගු වන බව ඔප්පු කෙරේ. මෙහි සාධනය පියවර 2කින් සිදු වේ.

1. -පදනම (පාදම් අවස්ථාව) n = 0 විට ප්‍රකාශය සත්‍ය බව පෙන්වීම
2. - අභහුන්‍ය පියවර - n හි කිසියම් අගයක් සඳහා ප්‍රකාශය සත්‍ය විට n වෙනුවට n +1 යෙදූ විට ද ප්‍රකාශය සත්‍ය බව පෙන්වීම.

අභහුන්‍ය පියවරේ දී n හි කිසියම් අගයක් සඳහා ප්‍රකාශය සත්‍ය යැයි උපකල්පනය කිරීම අභහුන්‍ය කල්පිතය නම් වේ. අභහුන්‍ය පියවර ක්‍රියාත්මක කිරීමට පළමුව අභහුන්‍ය කල්පිතය උපකල්පනය කෙරෙන අතර අනතුරුව එම උපකල්පනය යොදා ගෙන n +1 සඳහා ද ප්‍රකාශනය ඔප්පු කරනු ලැබේ. සමායුක්තවාද යේදී හා ගණිතමය තර්කනයේ දි බහුලව යෙදෙන පරිදි 0 ප්‍රකෘති සංඛ්‍යාවක් ලෙස සලකන විට ඉහත දක්වා ඇති පදනම් විස්තරය සත්‍ය වේ. නමුත් 1 ප්‍රථම ප්‍රාථමක සංඛ්‍යාව ලෙස සලකන විට පාදම් අවස්ථාව සඳහා අංක 1 යොදාගත යුතුය.

මෙහි දී (අභහුන්‍ය ක්‍රමයේ දී) පළමුව ආරම්භක අගයයක් සඳහා ප්‍රකාශනයක් වලංගු වන බව සාධනය කෙරෙන අතර ඉන්පසු එක් අගයක සිට තවත් අයකට ගමන් කිරීමේ ක්‍රියාවලි ප්‍රකාශය සඳහා වලංගු බව පෙන්වනු ලැබේ. මෙම තත්ව දෙකටම අනුකූල විට ඉහත ක්‍රියාවලිය නැවත නැවතත් සිදු කිරීමෙන් ඕනෑම අගයක් ලබා ගත හැකි වේ. මෙහි දී ඩොමි‍නෝ ආචරණ යොදා ගෙන මෙය පැහැදිලි කළ හැකි වේ. යමෙකුට දිගු ඩොමිනෝ කැට පේළියක් හමුවූයේ යැයි සිතමු. එවිට,

1. පළමු ඩොමිනෝව වැටෙනු ඇත.
2. ඩොමිනෝ කැටයක් වැටෙන හැමවිටම ඊට යාබද ඊළඟ ඩොමිනෝ කැටය ද වැටෙනු ඇත.

යනුවෙන් සහතික විය හැක. ඒ අනුව සියළු ඩොමිනෝ වැටෙනු ඇති බවත් එය වැළැක්විය නොහැකි බවත් පැහැදිලි වේ. පොකුණක ඇති සම දුරින් පිහිටි එක හා සමාන නෙළුම් කොළ අපරිමිත සංඛ්‍යාවක් ඇසුරින් අභහුන්‍ය ක්‍රමය සඳහා තවත් ප්‍රතිසම අවස්ථාවක් ලබාගත හැකිය. ගෙම්බෙක් නෙළුම් කොළ මතින් පොකුණ හරහා ගමන් කළ යුතු නම් ඒ සඳහා,

1. නෙළුම් කොළයට උගේ බර දැරිය හැකි විය යුතුය.
2. ඌට එක් නෙළුම් කොළයක සිට තවත් ‍ෙකාළයකට පැනිය හැකි විය යුතුය.

ඒ අනුව ගෙම්බාට සියළුම නෙළුම් කොළ මතට පැනිය හැකි බව පැහැදිලි වේ.

උදාහරණ

පහත සමාන්තර ශ්‍රේණිය සලකන්න

$0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

මුලින්ම n=0 අවස්ථාව තෘප්ත කරන බවට පෙන්වමු

$0={\frac {0\cdot (0+1)}{2}}\,.$:$0={\frac {0\cdot (0+1)}{2}}\,.$

දැන් අප ඉහත ප්‍රකාශනය n=k අවස්ථාවට සත්‍ය යැයි උප කල්පනය කරමූ

$0+1+2+\cdots +k={\frac {k(k+1)}{2}}\,.$

k+1 අවස්ථාව

$(0+1+2+\cdots +k)+(k+1)={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}.$ ලෙස පෙන්විය යුතු වෙනවා

නමුත් අපට

${(0+1+2+\cdots +k)}+(k+1)=({\frac {k(k+1)}{2}})+(k+1)\,.$ ලෙස ලිවිය හැකියි

${\begin{aligned}{\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)&={\frac {k(k+1)+2(k+1)}{2}}\\&={\frac {k^{2}+k+2k+2}{2}}\\&={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}\\&={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}\end{aligned}}$