Figure 2, Without circumcircle
Two triangles labelled with the components of the law of sines. α β γ A B C a b c a α
ත්‍රිකෝණමිතියේදී , සයින් නීතිය , සයින් නීතිය , සයින් සූත්‍රය හෝ සයින් නියමය යනු ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක පැතිවල දිග එහි කෝණවල සයිනවලට සම්බන්ධ කරන සමීකරණයකි . නීතියට අනුව,
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
=
2
R
,
{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,}
අරය වේ. සමීකරණයේ අවසාන කොටස භාවිතා නොකරන විට, නීතිය සමහර විට අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් භාවිතා කරයි;
sin
α
a
=
sin
β
b
=
sin
γ
c
.
{\displaystyle {\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.}
අපැහැදිලි අවස්ථාව ලෙස හැඳින්වේ) සහ තාක්‍ෂණය සංවෘත කෝණය සඳහා හැකි අගයන් දෙකක් ලබා දෙයි.
සයින් නියමය යනු ස්කේලීන් ත්‍රිකෝණවල දිග සහ කෝණ සෙවීමට පොදුවේ යෙදෙන ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ දෙකෙන් එකක් වන අතර අනෙක කොසයිනවල නියමයයි .
සයින් නියමය නියත වක්‍රය සහිත පෘෂ්ඨ මත ඉහළ මානයන් වෙත සාමාන්‍යකරණය කළ හැක. [1]
HJJ විල්සන්ගේ නැගෙනහිර විද්‍යාව [2] [3]
Ubiratàn D'Ambrosio සහ Helaine Selin ට අනුව, සයින් වල ගෝලාකාර නියමය 10 වන සියවසේ දී සොයා ගන්නා ලදී. එය Abu-Mahmud Khojandi, Abu al-Wafa' Buzjani, Nasir al-Din al-Tusi සහ Abu Nasr Mansur හට විවිධ ලෙස ආරෝපණය කර ඇත. [4]
Ibn Muʿādh al-Jayyani 's 11 වන සියවසේ ගෝලයක නො දන්නා චාප පොතෙහි සයින් වල ගෝලාකාර නියමය අඩංගු වේ. [5] On the Sector Figure හි, ඔහු තල සහ ගෝලාකාර ත්‍රිකෝණ සඳහා සයින් නියමය ප්‍රකාශ කළ අතර, මෙම නියමය සඳහා සාක්ෂි සැපයීය. [6]
Glen Van Brummelen ට අනුව, "සයින් නීතිය සැබවින්ම Regiomontanus ගේ IV වන පොතේ සෘජු කෝණික ත්‍රිකෝණවල විසඳුම් සඳහා පදනම වන අතර, මෙම විසඳුම් ඔහුගේ සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණවල විසඳුම් සඳහා පදනම වේ." [7]
දිග a පැත්ත පාදම ලෙසින්, ත්‍රිකෝණයේ උන්නතාංශය b sin γ හෝ c sin β ලෙස ගණනය කළ හැක. මෙම ප්‍රකාශන දෙක සමාන කිරීමෙන් ලැබේ
sin
β
b
=
sin
γ
c
,
{\displaystyle {\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}\,,}
ත්‍රිකෝණ විසඳුමේ අපැහැදිලි අවස්ථාව [ සංස්කරණය ] ත්‍රිකෝණයක පැත්තක් සෙවීමට සයින් නියමය භාවිතා කරන විට, ලබා දී ඇති දත්ත වලින් වෙන වෙනම ත්‍රිකෝණ දෙකක් සෑදිය හැකි විට අපැහැදිලි අවස්ථාවක් ඇති වේ (එනම්, ත්‍රිකෝණයට වෙනස් විය හැකි විසඳුම් දෙකක් තිබේ). පහත දැක්වෙන අවස්ථාවෙහි ඒවා ABC සහ ABC′ ත්‍රිකෝණ වේ.
සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණයක් ලබා දී, නඩුව අපැහැදිලි වීමට පහත කොන්දේසි සපුරා ලිය යුතු ය:
ත්‍රිකෝණය ගැන දන්නා එක ම තොරතුරු වන්නේ කෝණය α සහ පැති a සහ c වේ.
කෝණය α තියුණු වේ (එනම්, α <90°).
a පැත්ත c පැත්තට වඩා කෙටි වේ (එනම්, a < c ).
a පැත්ත β කෝණයෙන් h ට වඩා දිගු වේ, මෙහි h = c sin α (එනම් a > h ). ඉහත කොන්දේසි සියල්ල සත්‍ය නම්, එක් එක් කෝණ β සහ β′ වලංගු ත්‍රිකෝණයක් නිපදවයි, එනම් පහත සඳහන් දෙක ම සත්‍ය වේ.
γ
′
=
arcsin
c
sin
α
a
or
γ
=
π
−
arcsin
c
sin
α
a
.
{\displaystyle {\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{or}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.}
පහත දැක්වෙන්නේ සයින් නීතිය භාවිතයෙන් ගැටලුවක් විසඳන ආකාරය පිළිබඳ උදාහරණ වේ.
උදාහරණ 1 ලබා දී ඇත: පැත්ත a = 20, පැත්ත c = 24, සහ කෝණය γ = 40° . කෝණය α අවශ්‍ය වේ.
සයින් නීතිය භාවිතා කරමින්, අපි එය නිගමනය කරමු
sin
α
20
=
sin
(
40
∘
)
24
.
{\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.}
උදාහරණය 2 ත්‍රිකෝණයේ a සහ b ත්‍රිකෝණයේ පැති දෙකක දිග x ට සමාන නම්, තුන් වන පැත්තේ දිග c ඇති අතර, a, b, සහ c දිග දෙපැත්තට විරුද්ධ කෝණ පිළිවෙලින් α, β, සහ γ වේ.
α
=
β
=
180
∘
−
γ
2
=
90
∘
−
γ
2
sin
α
=
sin
β
=
sin
(
90
∘
−
γ
2
)
=
cos
(
γ
2
)
c
sin
γ
=
a
sin
α
=
x
cos
(
γ
2
)
c
cos
(
γ
2
)
sin
γ
=
x
{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}
වට රවුමට සම්බන්ධය [ සංස්කරණය ] අනන්යතාව තුළ
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
,
{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},}
භාග තුනේ පොදු අගය ඇත්ත වශයෙන් ම ත්‍රිකෝණයේ වට රවුමේ විෂ්කම්භය වේ. මෙම ප්‍රතිඵලය ටොලමි දක්වා දිව යයි.
[8] [9] වටකුරු විෂ්කම්භයට සමාන සයින් නීතියේ අනුපාතය ව්‍යුත්පන්න කිරීම. ADB ත්‍රිකෝණය d විෂ්කම්භය සහිත වට රවුමේ කේන්ද්‍රය හරහා ගමන් කරන බව සලකන්න. රූපයේ දැක්වෙන පරිදි, සටහන් කර ඇති රවුමක් තිබිය යුතු ය
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
△
A
D
B
{\displaystyle \triangle ADB}
∠
A
O
D
{\displaystyle \angle AOD}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
∠
A
B
D
=
90
∘
{\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }}
△
A
B
D
{\displaystyle \triangle ABD}
sin
δ
=
opposite
hypotenuse
=
c
2
R
,
{\displaystyle \sin {\delta }={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},}
R
=
d
2
{\textstyle R={\frac {d}{2}}}
ත්‍රිකෝණයේ වටකුරු රවුමේ අරය වේ.
[9] කෝණ
γ
{\displaystyle {\gamma }}
සහ
δ
{\displaystyle {\delta }}
එක ම රවුමක වැතිර එම ස්වරයම යට කරන්න c ; මේ අනුව, ලියා ඇති කෝණ ප්‍රමේයය මගින්,
γ
=
δ
{\displaystyle {\gamma }={\delta }}
එබැවින්,
sin
δ
=
sin
γ
=
c
2
R
.
{\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.}
සැකිල්ල:Equation box 1 අස්වැන්න නැවත සකස් කිරීම
2
R
=
c
sin
γ
.
{\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.}
නිර්මාණය කිරීමේ ක්‍රියාවලිය නැවත කිරීම
△
A
D
B
{\displaystyle \triangle ADB}
වෙනත් ලකුණු සමඟ ලබා දෙයි
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
=
2
R
.
{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.}
සැකිල්ල:Equation box 1
ත්‍රිකෝණයක් පප්‍රේදෂයසම්බන්ධය [ සංස්කරණය ] ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය ලබා දෙන්නේ
T
=
1
2
a
b
sin
θ
{\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }
θ
{\displaystyle \theta }
T
=
1
2
a
b
⋅
c
2
R
.
{\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.}
R
{\displaystyle R}
[10] සැකිල්ල:Equation box 1
T
=
a
b
c
4
R
{\displaystyle T={\frac {abc}{4R}}}
a
b
c
2
T
=
a
b
c
2
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
=
2
a
b
c
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}
s
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
.
{\textstyle s={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right).}
ඉහත දෙවන සමානාත්මතාව ය ප්‍රදේශය සඳහා හෙරොන්ගේ සූත්‍රයට පහසුවෙන් සරල කරයි.
ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය සඳහා පහත සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න කිරීමේදී ද සයින් රීතිය භාවිතා කළ හැක: කෝණවල සයින වල අර්ධ එකතුව දැක්වීම
S
=
1
2
(
sin
A
+
sin
B
+
sin
C
)
{\textstyle S={\frac {1}{2}}\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)}
[11] සැකිල්ල:Equation box 1
T
=
4
R
2
S
(
S
−
sin
A
)
(
S
−
sin
B
)
(
S
−
sin
C
)
{\displaystyle T=4R^{2}{\sqrt {S\left(S-\sin A\right)\left(S-\sin B\right)\left(S-\sin C\right)}}}
R
{\displaystyle R}
2
R
=
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
{\displaystyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}
සයින් වල ගෝලාකාර නියමය [ සංස්කරණය ] සයින් වල ගෝලාකාර නියමය ගෝලයක ත්‍රිකෝණ සමඟ කටයුතු කරයි, එහි පැති විශාල කව වල චාප වේ.
ගෝලයේ අරය යැයි සිතමු 1. a, b, සහ c ත්‍රිකෝණයේ පැති වන මහා චාප වල දිග වේ. එය ඒකක ගෝලයක් වන නිසා, a, b, සහ c යනු රේඩියන වලින් එම චාප මගින් ගෝලයේ කේන්ද්‍රයේ ඇති කෝණ වේ. A, B, සහ C එම පැතිවලට විරුද්ධ කෝණ වේවා. මේවා මහා කව තුනේ තල අතර ඇති ද්විභාණ්ඩ කෝණ වේ.
එවිට සයින් වල ගෝලාකාර නියමය මෙසේ කියයි.
sin
A
sin
a
=
sin
B
sin
b
=
sin
C
sin
c
{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}
OA, OB සහ OC යන ඒකක දෛශික තුනක් සහිත ඒකක ගෝලයක් මූලාරම්භයේ සිට ත්‍රිකෝණයේ සිරස් දක්වා ඇදී යයි. මේ අනුව α, β, සහ γ කෝණ පිළිවෙලින් a, b, සහ c වේ. චාපය BC කේන්ද්‍රයේ a කෝණයක් යටපත් කරයි. z -අක්ෂය දිගේ OA සමඟ කාටිසියානු පදනමක් හඳුන්වා දීම සහ xz -තලය තුළ OB z -අක්ෂය සමඟ c කෝණයක් සාදනු ලැබේ. දෛශික OC xy තලය තුළ ON කිරීමට ප්‍රක්ෂේපණය කරන අතර ON සහ x අක්ෂය අතර කෝණය A වේ. එබැවින්, දෛශික තුනට සංරචක ඇත:
O
A
=
(
0
0
1
)
,
O
B
=
(
sin
c
0
cos
c
)
,
O
C
=
(
sin
b
cos
A
sin
b
sin
A
cos
b
)
.
{\displaystyle \mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}
අදිශ ත්‍රිත්ව නිෂ්පාදනය, OA ⋅ ( OB × OC ) යනු ගෝලාකාර ත්‍රිකෝණයේ OA, OB සහ OC යන ශීර්ෂවල පිහිටුම් දෛශික මගින් සාදන ලද සමාන්තර නලයේ පරිමාවයි. මෙම පරිමාව OA, OB සහ OC නියෝජනය කිරීමට භාවිතා කරන විශේෂිත ඛණ්ඩාංක පද්ධතියට වෙනස් නොවේ. අදිශ ත්‍රිත්ව නිෂ්පාදනයේ OA ⋅ ( OB × OC ) අගය OA, OB සහ OC පේළි ලෙස 3 × 3 නිර්ණායකය වේ. OA දිගේ z අක්ෂය සමඟ මෙම නිර්ණායකයේ වර්ග වේ
(
O
A
⋅
(
O
B
×
O
C
)
)
2
=
(
det
(
O
A
O
B
O
C
)
)
2
=
|
0
0
1
sin
c
0
cos
c
sin
b
cos
A
sin
b
sin
A
cos
b
|
2
=
(
sin
b
sin
c
sin
A
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}
මෙම ගණනය කිරීම OB දිගේ z අක්ෂය සමඟ නැවත නැවත කිරීමෙන් (sin c sin a sin B ) 2 ලබා දෙන අතර z - අක්ෂය සමඟ OC දිගේ එය (sin a sin b sin C ) 2 වේ. මෙම ප්‍රකාශන සම කරමින් සහ පුරා බෙදීම (sin a sin b sin c ) 2 ලබා දෙයි
sin
2
A
sin
2
a
=
sin
2
B
sin
2
b
=
sin
2
C
sin
2
c
=
V
2
sin
2
(
a
)
sin
2
(
b
)
sin
2
(
c
)
,
{\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},}
මෙහි V යනු ගෝලාකාර ත්‍රිකෝණයේ ශීර්ෂවල පිහිටුම් දෛශිකය මගින් සෑදෙන සමාන්තර නලයේ පරිමාවයි. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, ප්‍රතිඵලය පහත දැක්වේ.
කුඩා ගෝලාකාර ත්‍රිකෝණ සඳහා, ගෝලයේ අරය ත්‍රිකෝණයේ පැතිවලට වඩා බෙහෙවින් වැඩි වූ විට, මෙම සූත්‍රය සීමාවේ දී තල සූත්‍රය බවට පත් වන්නේ කෙසේ දැයි බැලීම පහසු ය.
lim
a
→
0
sin
a
a
=
1
{\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1}
සහ sin b සහ sin c සඳහා සමාන වේ.
ජ්‍යාමිතික සාක්ෂි [ සංස්කරණය ] සමඟ ඒකක ගෝලයක් සලකා බලන්න:
O
A
=
O
B
=
O
C
=
1
{\displaystyle OA=OB=OC=1}
ඉදිකිරීම් ලක්ෂය
D
{\displaystyle D}
සහ ලක්ෂය
E
{\displaystyle E}
එවැනි
∠
A
D
O
=
∠
A
E
O
=
90
∘
{\displaystyle \angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }}
ඉදිකිරීම් ලක්ෂය
A
′
{\displaystyle A'}
∠
A
′
D
O
=
∠
A
′
E
O
=
90
∘
{\displaystyle \angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }}
එබැවින් එය දැකිය හැකි ය
∠
A
D
A
′
=
B
{\displaystyle \angle ADA'=B}
∠
A
E
A
′
=
C
{\displaystyle \angle AEA'=C}
එය සැලකිල්ලට ගන්න
A
′
{\displaystyle A'}
A
{\displaystyle A}
O
B
C
{\displaystyle OBC}
∠
A
A
′
D
=
∠
A
A
′
E
=
90
∘
{\displaystyle \angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }}
මූලික ත්‍රිකෝණමිතිය අනුව, අපට ඇත්තේ:
A
D
=
sin
c
A
E
=
sin
b
{\displaystyle {\begin{aligned}AD&=\sin c\\AE&=\sin b\end{aligned}}}
එහෙත්
A
A
′
=
A
D
sin
B
=
A
E
sin
C
{\displaystyle AA'=AD\sin B=AE\sin C}
sin
c
sin
B
=
sin
b
sin
C
⇒
sin
B
sin
b
=
sin
C
sin
c
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin c\sin B&=\sin b\sin C\\\Rightarrow {\frac {\sin B}{\sin b}}&={\frac {\sin C}{\sin c}}\end{aligned}}}
සමාන තර්ක යෙදීමෙන්, අපි සයින් හි ගෝලාකාර නියමය ලබා ගනිමු:
sin
A
sin
a
=
sin
B
sin
b
=
sin
C
sin
c
{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}
කොසයිනවල ගෝලාකාර නියමයෙන් සම්පූර්ණයෙන්ම වීජීය සාධනයක් ගොඩනැගිය හැක. අනන්‍යතාවයෙන්
sin
2
A
=
1
−
cos
2
A
{\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}
cos
A
{\displaystyle \cos A}
sin
2
A
=
1
−
(
cos
a
−
cos
b
cos
c
sin
b
sin
c
)
2
=
(
1
−
cos
2
b
)
(
1
−
cos
2
c
)
−
(
cos
a
−
cos
b
cos
c
)
2
sin
2
b
sin
2
c
sin
A
sin
a
=
[
1
−
cos
2
a
−
cos
2
b
−
cos
2
c
+
2
cos
a
cos
b
cos
c
]
1
/
2
sin
a
sin
b
sin
c
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}
චක්‍රීය විපර්යාසයක් යටතේ දකුණු අත වෙනස් නොවන බැවින්
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,\;b,\;c}
මූලික රේඛීය වීජ ගණිතය සහ ප්‍රක්ෂේපණ න්‍යාස භාවිතා කරමින් සයින් නියමය ව්‍යුත්පන්න කිරීම සඳහා ඉහත ජ්‍යාමිතික සාධනයෙහි භාවිතා කරන ලද රූපය බැනර්ජි [12]
හයිපර්බොලික් case [ සංස්කරණය ]
sin
A
sinh
a
=
sin
B
sinh
b
=
sin
C
sinh
c
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.}
sin
C
=
sinh
c
sinh
b
{\displaystyle \sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}}
නියත වක්‍රයේ මතුපිට case [ සංස්කරණය ] සැබෑ පරාමිතියක් මත පදනම් ව සාමාන්‍ය සයින් ශ්‍රිතයක් නිර්වචනය කරන්න K
sin
K
x
=
x
−
K
x
3
3
!
+
K
2
x
5
5
!
−
K
3
x
7
7
!
+
⋯
.
{\displaystyle \sin _{K}x=x-{\frac {Kx^{3}}{3!}}+{\frac {K^{2}x^{5}}{5!}}-{\frac {K^{3}x^{7}}{7!}}+\cdots .}
[1]
sin
A
sin
K
a
=
sin
B
sin
K
b
=
sin
C
sin
K
c
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin _{K}a}}={\frac {\sin B}{\sin _{K}b}}={\frac {\sin C}{\sin _{K}c}}\,.}
p K ( r ) මගින් නිත්‍ය වක්‍ර K හි අවකාශයක r අරය වෘත්තයක පරිධිය දැක්වීමට ඉඩ හරින්න. එවිට p K ( r ) = 2 π sin K r . එබැවින් සයින් නීතිය මෙසේ ද ප්‍රකාශ කළ හැක.
sin
A
p
K
(
a
)
=
sin
B
p
K
(
b
)
=
sin
C
p
K
(
c
)
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{p_{K}(a)}}={\frac {\sin B}{p_{K}(b)}}={\frac {\sin C}{p_{K}(c)}}\,.}
මෙම සූත්‍රය János Bolyai විසින් සොයා ගන්නා ලදී.
[13] tetrahedron එකකට ත්‍රිකෝණාකාර මුහුණුවර හතරක් ඇත. සාමාන්‍ය දෛශිකවල ධ්‍රැවීය සයින් ( psin ) හි නිරපේක්ෂ අගය, tetrahedron හි ශීර්ෂයක් බෙදා ගන්නා පැති තුනට, හතරවන මුහුණතෙහි ප්‍රදේශයෙන් බෙදීම, සිරස් තේරීම මත රඳා නොපවතී: [14]
|
psin
(
b
,
c
,
d
)
|
A
r
e
a
a
=
|
psin
(
a
,
c
,
d
)
|
A
r
e
a
b
=
|
psin
(
a
,
b
,
d
)
|
A
r
e
a
c
=
|
psin
(
a
,
b
,
c
)
|
A
r
e
a
d
=
(
3
V
o
l
u
m
e
t
e
t
r
a
h
e
d
r
o
n
)
2
2
A
r
e
a
a
A
r
e
a
b
A
r
e
a
c
A
r
e
a
d
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{c}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {Area} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2~\mathrm {Area} _{a}\mathrm {Area} _{b}\mathrm {Area} _{c}\mathrm {Area} _{d}}}\,.\end{aligned}}}
වඩාත් සාමාන්‍යයෙන්, n මාන
යුක්ලීඩීය අවකාශයේ n -මාන සිම්ප්ලෙක්ස් (එනම්,
ත්‍රිකෝණය ( n = 2 ), ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රෝනය ( n = 3 ), පංචේන්ද්‍රිය ( n = 4 ) යනාදිය සඳහා, ධ්‍රැවීය සයින් හි නිරපේක්ෂ අගය ශීර්ෂයක දී හමු වන මුහුණුවල සාමාන්‍ය දෛශික වලින්, ශීර්ෂයට ප්‍රතිවිරුද්ධ මුහුණතෙහි අධි ප්‍රදේශයෙන් බෙදීම, සිරස් තේරීමෙන් ස්වාධීන වේ. n -dimensional simplex හි අධි පරිමාව සඳහා V ලිවීම සහ එහි (n - 1) -dimensional faces හි අධි ප්‍රදේශ වල ගුණිතය සඳහා P, පොදු අනුපාතය වේ.
↑ 1.0 1.1 "Generalized law of sines" . mathworld .↑ Wilson, H.J.J., Eastern Science, John Murray Publishers, 1952, p46.
↑ Colebrooke, Henry Thomas, Algebra, with Arithmetic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara, London John Murray, 1817, pp. 299-300, URL: https://archive.org/details/algebrawitharith00brahuoft/page/298/mode/2up
↑ Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics , Springer ,
↑ O'Connor, John J. ; Robertson, Edmund F. , "Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani" , MacTutor History of Mathematics archive University of St Andrews , http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Jayyani.html ↑ . p. 518. ↑ Glen Van Brummelen (2009). "The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry ISBN 0-691-12973-8
↑ Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited . Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1–3, 1967
↑ 9.0 9.1 "Law of Sines" . www.pballew.net . සම්ප්‍රවේශය 2018-09-18 .↑ Mr. T's Math Videos (2015-06-10), Area of a Triangle and Radius of its Circumscribed Circle , https://www.youtube.com/watch?v=t6QNGDPG4Og , ප්‍රතිෂ්ඨාපනය 2018-09-18 ↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
↑ Banerjee, Sudipto (2004), "Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors" , The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 35 (5): pp. 375–381, , http://www.biostat.umn.edu/~sudiptob/ResearchPapers/banerjee.pdf , ප්‍රතිෂ්ඨාපනය 2024-05-15 ↑ [Svetlana Katok Svetlana Katok]. Chicago. p. 22 https://archive.org/details/fuchsiangroups00kato . ↑ Eriksson, Folke (1978). "The law of sines for tetrahedra and n-simplices". Geometriae Dedicata . 7 (1): 71–80. doi :10.1007/bf00181352 .
|
psin
(
b
,
…
,
z
)
|
A
r
e
a
a
=
⋯
=
|
psin
(
a
,
…
,
y
)
|
A
r
e
a
z
=
(
n
V
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
P
.
{\displaystyle {\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\ldots ,\mathbf {z} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}=\cdots ={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\ldots ,\mathbf {y} )\right|}{\mathrm {Area} _{z}}}={\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}
Gersonides
Half-side formula – for solving spherical triangles
Law of cosines Law of tangents
Law of cotangents
Mollweide's formula – for checking solutions of triangles
Solution of triangles
Surveying 
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c04742b006ecbfdbe47aa89107f544c1941a5c)
.svg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0791f9e5aaf7e592ffdd98ae27e4b34555d1a68)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cea5e52de68d1a8f7e1580b11fc867bdd7daf4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e3a1ba99b4e218fe49d60329e8dc43b300c769)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{c}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {Area} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2~\mathrm {Area} _{a}\mathrm {Area} _{b}\mathrm {Area} _{c}\mathrm {Area} _{d}}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847a5b9caece041bf05089e9474acadfc0194ae3)
