කෝණික ගම්‍යතාව - පෞරාණික යාන්ත්‍ර විද්‍යාව

භ්‍රමණය වන පද්ධතියක බලය (‍F) , ව්‍යාවර්තය (T), සහ ගම්‍යතා දෛශික (PmL) අතර පවතින සම්බන්ධතාවය මෙහි දැක්වේ.

අර්ථ දැක්වීම

දෙන ලද මූල ලක්ෂයක් වටා අංශුවක කෝණික ගම්‍යතාව

$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}$

මෙහි,

$\mathbf{L}$ = අංශුවේ කෝණික ගම්‍යතාවය

$\mathbf{r}$ = අංශුවේ පිහිටුම් දෛශිකය (මූල ලක්ෂයට සාපේක්ෂව)

$\mathbf{p}$ = අංශුවේ රේඛීය ගම්‍යතාවය

$\times\,$ = දෛශික අතර කතිර ගුණිතය

අර්ථ දැක්වීමෙන් ලැබෙන පරිදි කෝණික ගම්‍යතාවයේ ව්‍යුත්පන්න SI ඒකක නිවුටන් මීටර් තප්පර (N.m.s හෝ kg.m²s^-5) වේ. කතිර ගුණිතය හේතුවෙන් L ව්‍යාප්ත දෛශිකයක්වන අතර එය r - අරීය දෛශිකය සහ p ගම්‍යතා දෛශිකය යන දෛශික දෙකටම ලම්භ වේ. එය සඳහා ( අභි දිශාව සඳහා) දකුණත් නියමය මගින් සලකුණක් දෙනු ලැබේ.

පද්ධතියක අංශු කිහිපයක් අංඩගුවන විට මූල ලක්ෂයක් වටා සමස්ත කෝණික ගම්‍යතාව, එම අංශු එක එකෙහි කෝණික ගම්‍යතාවල ‍ෙඑක්‍යය ( හෝ අනුකලය) මගින් ලබා ගත හැක. තවද, විස්තාපනය - r හි වර්ගය අංශුවෙහි ස්කන්ධය සහ කෝණික ප්‍රවේගයේ ගුණිතය මගින් ද කෝණික ගම්‍යතාව ලබාගත හැක.

කක්ෂීය සහ භ්‍රමක කෝණික ගම්‍යතා

අංශු සමූහයක කෝණික ගම්‍යතාව එහි ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය වටා සැලකීමෙන් ගණිත කර්ම වඩාත් සරලවන අතර එබැවින් එසේ සැලකීම බොහෝ විට වඩාත් පහසු වේ.

අංශු සමූහයක කෝණික ගම්‍යතාව එක් එක් අංශුවෙහි කෝණික ගම්‍යතා ‍ෙඑක්‍යයවලට සමාන වේ.

$\mathbf{L}=\sum_i \mathbf{R}_i\times m_i \mathbf{V}_i$

මෙහි Ri යනු සමුද්දේශ ලක්ෂයේ සිට I අංශුවට ඇති දුර ප්‍රමාණයයි, mi යනු එහි ස්කන්ධයද vi යනු එහි ප්‍රවේගයද වේ. ස්කන්ධ ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය පහත පරිදි නිර්ණය කෙරේ.

$\mathbf{R}=\frac{1}{M}\sum_i m_i \mathbf{R}_i$

මෙහිදී සියළු අංශුවල සමස්ත ස්කන්ධය පහත සමීකරණය මගින් ලැබේ.

$M=\sum_i m_i\,$

ඒ අනුව ස්කන්ධ කේන්ද්‍රයෙහි ප්‍රවේගය පහත ලෙස ලැබේ.

$\mathbf{V}=\frac{1}{M}\sum_i m_i \mathbf{V}_i\,$

මෙහි R_i යනු ස්කන්ධ කේන්ද්‍රයේ සිට i අංශුවෙහි විස්තාපනය සහ v_i යනු ස්කන්ධ කේන්ද්‍රයට සාපේක්ෂව i අංශුවේ ප්‍රවේගය ලෙස අර්ථ දැක්වූ කළ,

R_i = R + r_i¬ සහ V₂ + V_i යන සමීකරණ අපට ලැබේ.

තවද,

$\sum_i m_i \mathbf{r}_i=0\,$   සහ    $\sum_i m_i \mathbf{v}_i=0\,$ද වේ.

එවිට කෝණික ගම්‍යතාවය පහත සමීකරණයේ පරිදි ලැබේ.

$\mathbf{L}=\sum_i (\mathbf{R}+\mathbf{r}_i)\times m_i (\mathbf{V}+\mathbf{v}_i) = \left(\mathbf{R}\times M\mathbf{V}\right) + \left(\sum_i \mathbf{r}_i\times m_i \mathbf{v}_i\right)$

මෙහි පළමු පදය මගින් ස්කන්ධ කේන්ද්‍රයෙහි කෝණික ගම්‍යතාව නිරූපණය වේ. මෙම අගය ස්කන්ධ කේන්ද්‍රයේ M ස්කන්ධයක් හා V ප්‍රවේගයක් සහිත තනි අංශුවක් තිබේ නම් ලැබෙන කෝණික ගම්‍යතා අගයට සමාන වේ. දෙවැනි පදය මගින් සිය ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය වටා භ්‍රමණය වන අංශු නිසා ඇතිවන කෝණික ගම්‍යතාව නිරූපණය වේ. යම් හෙයකින් සලකනු ලබන අංශු සමූහය එක් වී තනි දෘඩ වස්තුවක් තැනෙන අවස්ථාවකදී මෙම දෙවැනි පදය තව දුරටත් සරළ හැකි වේ. ස්කන්ධය / පදාර්ථය සන්තතිකව ව්‍යාප්තව ඇති අවස්ථාවක් සඳහාද මීට ප්‍රතිසම ප්‍රතිඵලයක් ලද හැකි වේ.

භ්‍රමණයේ අචල අක්ෂය

තනි අක්ෂයක් වටා සිදුවන භ්‍රමණ පිළිබඳ සලකා බැලෙන යෙදුම් බොහොමයක් සඳහා කෝණික ගම්‍යතාවයේ ව්‍යාප්ත දෛශික ස්වභාවය නොසලකා එය වාමාවර්ත විට ධන හා දක්ෂිණාවර්ත විට ඍණ වන අදීශයක් ලෙස සැලකීම කළ හැක. මේ සඳහා එකක දෛශිකය ඉවත්කර කතිර ගුණිතයේ නිර්වචනය ලබා ගත්හ. එවිට කෝණික ගම්‍යතාවය පහත පරිදි ලැබේ.

$L = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin \theta_{r,p}$

මෙහි θ_r,p යනු r සිට p දක්වා මනිනු ලබන r හාp අතර කෝණය වේ. θ_r,p හි මෙම නිර්වචනය ඉතා වැදගත් වන්නේ එය නොමැති කළ කතිර ගුණිතයෙහි සලකුණ අර්ථ විරහිත වන බැවිනි. ඒ අනුව ඉහත සමීකරණ ඇසුරින්, අර්ථ දැක්වුම පහත සමීකරණ යුගලින් ඕනෑම එකක් ලැබෙන පරිදි ප්‍රතිනිර්මාණය කළ හැක.

$L = \pm|\mathbf{p}||\mathbf{r}_{\perp}|$

මෙහි p දක්වා ඇති ලීවර බාහු දුර ප්‍රමාණය ලෙස හැඳින්වේ.

ලීවර බාහු දුර ප්‍රමාණය , මූල ලක්ෂයේ සිට p චල‍ිතවන රේඛාවට ඇති දුර ප්‍රමාණය ලෙස සැලකීම මෙය වටහා ගැනීමට ඇති පහසුම ක්‍රමය වේ. මෙම අර්ථ දැක්වීම යටතේ L ට අදාල ලකුණ නිර්ණය කරගැනීම සඳහා p හි දිශාව (වාමාවර්තව හෝ දක්ෂිණාවර්තව දිශානතව ඇති බව) සැලකිය යුතුය.

එසේම,

$L = \pm|\mathbf{r}||\mathbf{p}_{\perp}|$

මෙහි $\mathbf{p}_{\perp}$ යනු r ට ලම්භ වන p හි සංරචකයයි. ඉහත පරිදිම භ්‍රමණ අත අනුව ලකුණ නිර්ණය කෙරේ.

නියත සමමිතික අක්ෂය වටා භ්‍රමණය වන නියත ස්කන්ධයෙන් යුත් වස්තුවක කෝණික ගම්‍යතාව එහි අවස්ථිති ඝූර්ණය සහ කෝණික ප්‍රවේග දෛශිකය අතර ගුණිතයෙන් ලබාගත හැක.

$\mathbf{L}= I \mathbf{\omega}$

මෙහි, I යනු වස්තුවේ අවස්ථිති ඝූර්ණය වේ. (මෙය සාමාන්‍යයෙන් ආතානක ගුණයකි.

W යනු කෝණික ප්‍රවේගයයි.

කෝණික ගම්‍යතා සංස්ථිතිය

Fg සහ -Fg යන ප්‍රතිවිරුද්ධ බලවල ක්‍රියාකාරිත්වය නිසා හ‍ටගන්නා ඝූර්ණය හේතුවෙන් ඝූර්ණයේ දිශාව ඔස්සේ කෝණික ගම්‍යතාවයේ කාලය විශව‍ෙයහි ව්‍යුත්පන්නයයි. මේ හේතුවෙන් ඝූර්ණයේ දිශාව ඔස්සේ කෝණික ගම්‍යතාවයේ (L) හි වෙනසක් සිදු වේ. (ව්‍යාවර්ථ යනු කෝණික ගම්‍යතාවයේ කාලය විෂයෙහි ව්‍යුත්පන්නයයි.) මේ හේතුවෙන් බරය පූර්වායනය වේ.

සංවෘත පද්ධතියක කෝණික ගම්‍යතාව නියත වේ. අවකාශයේ සන්තතික දුෂ්‍යය සමමිතිය ඇසුරින් මෙම සංස්ථිතික නියමය ගණිතමය වශයෙන් ලබාගත හැකි වේ. ( අවකාශයේ ඕනෑම දිශාවක් වෙනත් ඕනෑම දිශාවකින් වෙනස් නොවේ) නෝකර් ප්‍රමේයය බලන්න.

කෝණික ගම්‍යතාවයේ කාලය විෂයෙහි ව්‍යුත්පන්නය ව්‍යාවර්තය නම් වේ.

$\tau = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = 0 + \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$

එබැවින් ගණිතමය වශයෙන් සලකන කළ පද්ධතියක් සංවෘත වීම සඳහා පද්ධතිය මත බාහිර ව්‍යාවර්ථය ශූන්‍යය විය යුතුය.

$\mathbf{L}_{\mathrm{system}} = \mathrm{constant} \leftrightarrow \sum \tau_{\mathrm{ext}} = 0$

මෙහි $\tau_{ext}$ යනු අංශු පද්ධතිය මත යෙදෙන ඕනෑම ව්‍යාවර්ථයකි.

කක්ෂයන්හිදී කෝණික ගම්‍යතාව, ග්‍රහලෝකයේ භ්‍රමණය සහ එහි කක්ෂීය චලනයේ කෝණික ගම්‍යතාව ලෙස කොටස් දෙකකින් යුක්ත වේ.

$\mathbf{L}_{\mathrm{total}} = \mathbf{L}_{\mathrm{spin}} + \mathbf{L}_{\mathrm{orbit}}$;

යම් හෙයකින් කිසියම් ග්‍රහලොවක් අපේක්ෂිත සීඝ්‍රතාවයට අඩු සීඝ්‍රතාවයකින් භ්‍රමණය වේනම් එම ග්‍රහලොව හා බැඳුණු චන්ද්‍රිකාවක් ඇති බවට තාරකා විද්‍යාඥයින් කළ සැකයක් මතුවිය හැක. ඊට හේතුව ග්‍රහලොවේ මුළු කෝණික ගම්‍යතාව සංස්ථිතික නියමයට අනුව ග්‍රහලොව හා චන්ද්‍රිකාව අතර බෙදී යාමයි.

කේන්ද්‍රික බල චලිත විශ්ලේෂණයේදී කෝණික ගම්‍යතා සංස්ථිතිය සුලභව භාවිත වේ. කිසියම් වස්තුවක් මත ක්‍රියාකරන සම්ප්‍රයුක්ත බලය හැමවිටම කිසියම් අචල ලක්ෂයක් වෙත යොමුව ඇත්නම්ද,එය එහි කේන්ද්‍රය නම් ද එවිට කේන්ද්‍රයට සාපේක්ෂව වස්තුව මත ව්‍යාවර්තයක් ක්‍රියාත්මක නොවන බැවින් එම කේන්ද්‍රය වටා වස්තුවේ කෝණික ගම්‍යතාව නියත වේ. පරමාණුවේ බෝර් ආකෘතිය, සහ ග්‍රහ ලෝක සහ චන්ද්‍රිකා වල කක්ෂ ආශ්‍රිත විශ්ලේෂණයන්හිදී නියත කෝණික ගම්‍යතාව අතිශය වැදගත් වේ.

හිම මත ලිස්සා යන ක්‍රීඩාවක් ඇ‍ෙග් ශරීරයේ සිරස් බ්‍රමණ අක්ෂය දෙසට දෑත් සහ දෙපා ලංකරන විට ඇය කෝණික ත්වරණයකට ත්වරනයකට භාජනය වීම කෝණික ගම්‍යතා සංස්ථිතිය මගින් පැහැදිලි කල හැක. ඇය සිය දෑත් හා දෙපා භ්‍රමණ අක්ෂයට ලං කර ගන්නා විට ඇගේ සිරුරේ ස්කන්ධයෙන් කොටසක් එහි භ්‍රමණ අක්ෂයට වඩාත් ලංවන හෙයින් ඇගේ සමස්ත අවස්ථිය ඝූර්ණය අඩු වේ. බාහිර ව්‍යාර්ත රහිත විට කෝණික ගම්‍යතාව නියත වන බැවින් එවිට ඇගේ කෝණික ප්‍රවේගය (භ්‍රමණ වේගය )ඉහළ යයි.

විශාල,සෙමෙන් භ්‍රමණය වන තාරකා සුසංගික තාරකා (සුදු වාමන තාරකා නියුට්‍රෝන තාරකා සහ කළු කුහර වැනි) බවට පත්වන විට මෙම සිද්ධිය හේතුවෙන් සුසංගික තාරකා වල භ්‍රමණ සීඝ්‍රතාව අතිශය ඉහල අගයකට පත් වේ.(යම් හෙයකින් වස්තුවක ප්‍රමාණය 10⁴ බලයකින් කුඩා කලේ නම් එවිට එහි කෝණික ප්‍රවේගය 10⁸ බලයකින් වැඩි වේ.)

පෘථිවි- චන්ද්‍ර පද්ධතියේදී කෝණික සංස්ථතිය හේතුවෙන් පෘථිවියේ සිට චන්ද්‍රයා වෙත කෝණික ගම්‍යතාව හුවමාරු වේ. (මේ සඳහා චන්ද්‍රයා මගින් පෘථිවිය මත යොදන උදම් ව්‍යාවර්තය හේතු වේ මේ හේතුවෙන් ක්‍රම ක්‍රමයෙන් පෘථිවි භ්‍රමණ සීඝ්‍රතාව අඩු වන අතර (දිනකට නැනෝ තත්පර 42කින් පමණ) ඊට සමගාමීව චන්ද්‍රයාගේ කක්ෂයේ අරය ක්‍රමයෙන් වැඩි වේ. (වසරකට 4.5cm පමණ සීඝ්‍රතාවයකිනි.)

http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum#Angular_momentum_in_classical_mechanics